Badewanne an Holzzarge - was tun?

Zunächst zum Schaden:
Wie man deutlich erkennt, war auch die Sanierung (lat. sanare = "gesund amchen") nicht von Erfolg gekrönt. Kein Wunder, bei der dilettantischen Planung und Ausführung.

Deshalb wird es, wie richtig vermutet, immer wieder die gleichen Schäden (Lackablösung, Holzzerstörung) geben, solange die Konstruktion so bleibt.

Abhilfe:
Anstatt dort wieder und wieder wasserempfindliches Holz (oder Holzwerkstoffe) reinzupfriemeln und zu lackieren, würde ich dem Vermieter mal empfehlen, ein gekantetes Edelstahlblech einzubauen und die Fugen so einzudichten, wie es sich gehört: hinterfüllen + versiegeln. Dabei muß man dann nur ab und an die Versiegelung erneuern, denn die hält sicher nicht ewig. Wann dies wieder soweit ist? Kann niemand genau vorhersagen. Man muß halt alle paar Monate mal hinschauen.

Mietvertrag:
Solche Fehlkonstruktionen zu beseitigen oder die Schäden bei Belassen immer wieder nachzubessern sind sicher nicht Sache des Mieters. Er haftet nur für Schäden an der Mietsache, die er selbst verursacht. Aber: Schäden an der Mietsache muß der Mieter dem Vermieter unverzüglich anzeigen. Tut er es nicht, können Kosten auf ihn zukommen (z.B. wenn sich der Schaden und die Kosten ausweiten).
Deshalb der Rat: So schnell als möglich den Vermieter auf diese Fehlkonstruktion aufmerksam machen und um Abhilfe bitten. Im Idealfall reguliert dies der Vermieter. Meistens jedoch versucht er, die Sache klein zu reden oder ganz zu ignorieren. Jedenfalls hat man mit der Schadensanzeige seiner mietvertraglichen Pflicht genüge getan. Schadensersatz kann dann nicht mehr gefordert werden. Ob man dann noch darauf besteht, die Fehlkonstruktion zu beseitigen oder die Schäden wenigstens immer wieder nacharbeiten zu lassen, kommt auf die eigenen Interessen an (wie lange bleibe ich noch in der Wohnung, will ich mir den dann unvermeidlichen Ärger antun, will ich vor Gericht ziehen, einen Anwalt einschalten, etc. pp.?).

Ach ja. Mit Baurecht, Bedenkenanzeige, Auftragnehmer, etc. hat das nichts zu tun. Hier geht es um (privates) Mietrecht. Außer, Du willst selbst Auftraggeber des Handwerkers werden... Kannst Du dann machen, wenn Du Deinen Vermieter informiert, um Abhilfe gebeten, und eine Frist gesetzt hast. Und dieser nicht oder nicht angemessen reagiert. Dann kannst Du Ersatzvornahme durchführen (zuvor Beweise sichern nicht vergessen...) und die Kosten vom Vermieter ersetzt verlangen. Nötigenfalls kannst Du angemessen die Miete, nach Ankündigung, kürzen, bis der Rechnungsbetrag erreicht ist. Gegebenenfalls kannst Du auch Mietminderung verlangen, denn es ist sicher eine nicht hygienische Sache, unmittelbar an der Badewanne offene Hölzer zu haben, die schnell auch Nährboden für mikrobiellen Befall sind.

Wenn Du so weit gehen willst, empfehle ich Dir aber, zuerst Mitglied in einem Mieterverein (mit Mietrechtsschutz) zu werden. Die helfen dann auch bei der Abfassung der Schreiben.